Espaciu euclideu

Espaciu euclideu
geometric structure (en)
espaciu de Hilbert, variedá analítica, real vector space (en) , finite dimension vector space (en) , espaciu y variedad de Riemann (es)

Un espaciu euclideu ye un espaciu vectorial normáu de dimensión finita en que la norma ye heredada d'un productu escalar.

L'espaciu euclideu ye'l espaciu matemáticu n-dimensional usual , una xeneralización de los espacios de 2 y 3 dimensiones estudiaos por Euclides. Formalmente, pa cada númberu enteru non negativu n, l'espaciu euclideu n-dimensional ye'l conxuntu ℝⁿ (u con ℝ queremos dicir el conxuntu de los númberos reales) xunto cola función distancia obtenida per aciu de la siguiente definición de distancia ente dos puntos (x₁, ..., x_n) e (y₁, ...,y_n): la raíz cuadrada de Σ (x_i-y_i)², u la suma ye sobre i = 1, ..., n.

Esta función distancia ta basada nel teorema de Pitágoras y ye nomada métrica euclídea.

El términu "espaciu euclideu n-dimensional" ye usualmente abreviáu a "n-espaciu euclideu", o sólo "n-espaciu". El n-espaciu euclideu denotase por Eⁿ, anque ℝⁿ ye bastante usáu (sobreentendiendo la métrica). E² dizse el planu euclideu.

Por definición, Eⁿ ye un espaciu métricu, y ye por tanto tamién un espaciu topolóxicu; ye'l exemplu prototípicu d'una n-variedá, y ye una n-variedá diferenciable. Pa n ≠ 4, cualquier n-variedá diferenciable que seya homeomorfa a Eⁿ ye tamién difeomorfa a ella. El fechu sorprendente ye qu'esto nun ye cierto tamién pa n = 4, lo que foi probao por Simon Donaldson nel añu1982; los contraexemplos nómense 4-espacios exóticos (o falsos).

Puede decise muncho sobre la topoloxía dEn.Un resultáu importante, la invariancia del dominiu de Brouwer, ye'l de que cualesquier subconxuntu dEⁿ que sea homeomorfu a un subconxuntu abiertu dEn ye en sí mesmu abiertu. Como consecuencia inmediata desto se tien queE^m nun ye homeomorfu a Eⁿ si m ≠ n -- un resultáu intuitivamente "obviu" qu'ensin embargu nun ye fácil de demostrar.

El n-espaciu euclideu pue considerase tamién como un Espaciu vectorial n-dimensional real , de fechu un Espaciu de Hilbert, de mena natural. El productu interior, tamién nomáu productu puntu, de x = (x₁,...,x_n) e y = (y₁,...,y_n) ta dau por

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}$